El Teorema del Valor Medio nos dice lo siguiente: Si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces existe al menos un número $c$ en $(a, b)$ tal que la derivada de $f$ en $c$ cumple que: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Veamos si el Teorema del Valor Medio se puede aplicar a la función cuadrática $f(x) = x^2 - 2x$ en el intervalo cerrado $[-1, 3]$. ✅ La función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$, en particular lo es en el intervalo $[-1, 3]$. ✅ Como $f(x)$ es un polinomio, también es derivable en todo $\mathbb{R}$, incluido obviamente el intervalo abierto $(-1, 3)$. Perfecto, se cumplen las condiciones del teorema, entonces nos asegura que debe haber al menos un valor $c$ en $(-1, 3)$ tal que: $f'(c) = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)}$ Entonces, $f(3) = 3$ $f(-1) = 3$ Y ahora: $f'(c) = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \frac{3 - 3}{4} = 0$ Eso significa que debemos encontrar un $c$ tal que $f'(c) = 0$. La derivada de $f(x)$ es: $f'(x) = 2x - 2$ Para encontrar $c$, igualamos la derivada a cero: $2c - 2 = 0 \Rightarrow c = 1$ Entonces, el valor de $c$ que satisface el Teorema del Valor Medio es $c = 1$, y claramente $c$ pertenece al intervalo $(-1, 3)$. Esto verifica que el Teorema del Valor Medio es aplicable en este caso y nos da el valor de $c$ que estábamos buscando ;)